Variograma, Geoestadística, Modelado, Anisotropía, Efecto Pepita, Alcance, Meseta, Validación Cruzada, Ajuste, Modelos Elementales, Modelos Anidados.
Este documento ofrece una guía exhaustiva sobre el modelado de variogramas, una técnica fundamental en la geoestadística para analizar la continuidad espacial de variables regionalizadas. Se exploran conceptos esenciales como el efecto pepita, el alcance y la meseta, así como las anisotropías, que reflejan la variación de la continuidad en diferentes direcciones. El documento detalla los distintos modelos teóricos de variogramas, desde los elementales (esférico, exponencial, Gaussiano) hasta los anidados, que combinan varios modelos para representar comportamientos complejos. Se explican las reglas para un ajuste adecuado del modelo al variograma experimental, incluyendo métodos manuales y automáticos. La validación cruzada y el jack-knife se presentan como herramientas para evaluar la calidad del ajuste y asegurar su aplicabilidad en la estimación de recursos. El documento se enriquece con ejemplos prácticos de la industria minera para ilustrar la aplicación de los conceptos y técnicas descritas.
Contenido:
- Importancia del Modelado del Variograma:
- El variograma experimental, si bien es una herramienta valiosa, necesita ser modelado para obtener una función continua y matemáticamente válida, que pueda ser utilizada en la estimación geoestadística.
- El modelo teórico proporciona una descripción completa de la continuidad espacial en todas las direcciones y distancias.
- Definición y Propiedades del Variograma Teórico:
- Se define el variograma teórico como la esperanza matemática de la diferencia cuadrática entre dos puntos separados por una distancia h.
- Se describen las propiedades fundamentales del variograma teórico: positividad, paridad, nulidad en el origen y condición de tipo negativo condicional.
- Se establece la relación entre el variograma (γ(h)), el correlograma (ρ(h)) y la covarianza (C(h)), mostrando cómo estas herramientas se complementan para describir la estructura espacial de los datos.
- Características del Variograma:
- Comportamiento para Distancias Pequeñas: Describe la continuidad a pequeña escala y define la suavidad de la variable regionalizada. Se distinguen tres tipos de comportamiento: derivable (muy suave), lineal (continuo) y discontinuo (errático, con efecto pepita).
- Comportamiento para Distancias Grandes: Se analiza la presencia de meseta (estabilización del variograma a una varianza finita), efecto de escala (meseta para distancias mayores), deriva (cuestionamiento del modelo estacionario) y la posibilidad de varianza infinita.
- Comportamiento Direccional (Anisotropías): El estudio de variogramas en diferentes direcciones permite identificar anisotropías, que indican direcciones preferenciales de continuidad.
- Otras Características: Se mencionan las periodicidades (frecuentes en fenómenos temporales) y el efecto de hoyo (no monotonía del variograma). Se subraya que el variograma no captura todas las características de la distribución espacial, como la conectividad.
- Modelos Elementales de Variogramas:
- Efecto Pepita: Representa la ausencia total de correlación espacial.
- Modelo Esférico: Se define su formulación matemática y se identifican el alcance y la meseta.
- Modelo Exponencial: Su formulación incluye un alcance práctico, distancia a la cual se alcanza el 95% de la meseta.
- Modelo Gaussiano: Similar al exponencial, pero con una forma más suave.
- Modelo Potencia: Carece de alcance y meseta, caracterizando un crecimiento continuo.
- Modelo Seno Cardinal: Presenta un comportamiento oscilatorio.
- Otros Modelos: Se listan modelos cúbico, circular, pentaesférico, seno exponencial y modelos con parámetro de forma.
- Modelos Anidados:
- Se explica la construcción de modelos más complejos sumando variogramas elementales, lo que permite modelar cambios de pendiente en variogramas direccionales.
- Se destaca que el efecto pepita puede ser explicado por un modelo anidado de alcance muy corto («micro-estructura»).
- Se enumeran otras causas del efecto pepita en el variograma experimental: soporte de medición pequeño, errores de medición y ubicación, y muestreo preferencial en zonas de alta variabilidad.
- Anisotropías:
- Definición: Se definen las anisotropías como variaciones en la continuidad espacial según la dirección.
- Herramientas de Detección: El mapa variográfico, que representa el variograma en función de la distancia y orientación, permite visualizar las anisotropías a través de elipses (2D) o elipsoides (3D).
- Modelado: Se describen la anisotropía geométrica (alcances diferentes en las direcciones principales) y zonal (alcance muy grande en una dirección, generando cambio de meseta). Se pueden combinar para modelar anisotropías complejas.
- Reglas de Ajuste del Modelo:
- Se enfatiza la necesidad de un modelo consistente en todas las direcciones, con el mismo efecto pepita, número y tipo de estructuras anidadas.
- Se detallan las reglas para asegurar la consistencia: efecto pepita isótropo único, mismo número de estructuras anidadas en todas las direcciones, misma meseta para cada estructura, alcances variables según la dirección y modelado de anisotropía zonal con alcances muy grandes.
- Ajuste del Modelo al Variograma Experimental:
- Ajuste Manual: Se presenta un ejemplo práctico donde se ajusta un modelo a un variograma experimental dado, utilizando un proceso de prueba y error para determinar el efecto pepita, alcances, mesetas y tipos de modelos a anidar. Se verifica que la suma de las mesetas coincida con la meseta total.
- Ajuste Automático: Se describen los métodos de mínimos cuadrados ordinarios, ponderados y generalizados, que buscan minimizar la diferencia entre el variograma experimental y el modelo. Se explican las opciones de ponderación y la consideración de la correlación entre los valores del variograma experimental.
- Otros Métodos: Se mencionan el método de máxima verosimilitud y el método Bayesiano, que no requieren un variograma experimental, pero dependen de la distribución de la variable.
- Consideraciones Prácticas para el Modelado:
- Modelado Direccional: Se recomienda modelar anisotropías simples con 2 o 3 direcciones principales, buscando la elipse o elipsoide que mejor se ajuste al mapa variográfico. Se puede complementar con un variograma omnidireccional.
- Modelado para Distancias Grandes: Se advierte sobre la poca confiabilidad del variograma experimental para distancias grandes y las fluctuaciones que puede presentar. La meseta del variograma puede diferir de la varianza empírica.
- Modelado para Distancias Pequeñas: El comportamiento a pequeña escala es crucial para la interpolación y se puede verificar con datos cercanos. Se debe ser cauteloso con comportamientos muy regulares.
- Precaución con el Ajuste Automático: El ajuste debe ser interactivo, donde el usuario tenga la última palabra, considerando la representatividad del variograma experimental, la información disponible y la escala de trabajo.
- Evaluación de la Calidad del Ajuste: Se recomienda evaluar el ajuste en direcciones no principales, calcular indicadores de distancia entre el variograma experimental y el modelado, y usar validación cruzada y jack-knife para probar el modelo.
- Aplicación a Datos Mineros:
- Se presenta un estudio de anisotropía utilizando el mapa variográfico, destacando la dirección vertical.
- Se muestra un ejemplo de variograma experimental y su modelado con una suma de modelos pepita + esféricos.
- Validación Cruzada:
- Objetivos: Validar el modelo del variograma, comparar modelos, validar parámetros del kriging.
- Principio: Estimar cada dato por kriging utilizando los demás datos, calcular el error de estimación y analizar la calidad de los errores.
- Factores a Considerar: Media y varianza de los errores (cercanas a cero para un estimador insesgado), varianza de los errores estandarizados, nube de dispersión entre valores reales y estimados (baja para precisión, cercana a la diagonal para insesgo condicional).
- Sesgo Condicional: Se ilustra el impacto del sesgo condicional en el control de leyes, mostrando cómo afecta la estimación de la ley media en el botadero y la planta.
- Estudio del Insesgo Condicional: Se compara la ley media real y estimada para diferentes leyes de corte, verificando que el sesgo condicional sea despreciable.
- Jack-knife:
- Se describe como una técnica similar a la validación cruzada, pero sin reposición de los datos, dividiendo el conjunto en dos subconjuntos para la estimación.
- Lecturas Recomendadas:
- Se proporciona una lista de referencias bibliográficas para profundizar en el tema del modelado de variogramas.
- Ejercicios:
- Se plantean ejercicios para modelar variogramas de leyes de cobre y oro en sondajes de exploración y realizar una validación cruzada de los modelos.
- Ejemplos de Archivos de Parámetros para Programas GSLib:
- Se incluyen ejemplos de archivos de parámetros para programas como VMODEL (modelado del variograma), VARGPLT (visualización del variograma), KT3D (kriging 3D), locxyz (visualización de datos), HISTPLT (histograma) y CONDBIAS (análisis del sesgo condicional).
Autor:
Xavier Emery
Fecha de Publicación:
Universidad de Chile
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