Kriging, Geoestadística, Estimación, Variograma, Interpolación, Varianza de Kriging, Vecindad, Anisotropía, Efecto Pepita, Kriging Ordinario, Kriging Simple, Kriging de Bloques, Validación Cruzada.
Este documento presenta una inmersión profunda en el Kriging, una poderosa técnica geoestadística para estimar valores desconocidos de variables regionalizadas. El Kriging, a diferencia de los interpoladores tradicionales, aprovecha la información del variograma para modelar la correlación espacial y producir estimaciones precisas, además de cuantificar la incertidumbre asociada. El documento explora los fundamentos teóricos del Kriging, incluyendo la construcción del sistema de ecuaciones, las restricciones de linealidad, insesgo y optimalidad. Se desglosan los diferentes tipos de Kriging, desde el Kriging Simple y Ordinario hasta variantes más avanzadas como el Kriging de Bloques, el Kriging con Deriva y el Kriging de Indicadores. Se analizan los factores que influyen en la elección del plan de Kriging, como el tamaño y la forma de la vecindad, y se destacan herramientas como la validación cruzada para evaluar la calidad de la estimación. Abundantes ejemplos de la industria minera ilustran la aplicación práctica de los conceptos y se proporcionan directrices para la elección del tipo de Kriging más adecuado.
Contenido:
- Introducción al Kriging:
- Se establece el objetivo del Kriging: estimar valores desconocidos o promedios en un área o bloque, utilizando la información de los datos cercanos y considerando su configuración geométrica y la correlación espacial.
- Se compara el Kriging con los interpoladores tradicionales, resaltando su capacidad de incorporar la información del variograma para una estimación más robusta y precisa.
- Se presenta el Kriging como un interpolador baricéntrico, donde los pesos asignados a los datos dependen de su distancia al punto de estimación, las redundancias entre datos y la continuidad espacial definida por el variograma.
- Del Interpolador Tradicional al Kriging:
- Se revisan los interpoladores tradicionales, clasificándolos en métodos basados en:
- Partición del espacio: Vecino más cercano, vecindad natural, Sibson, interpolación lineal, método de McLain, Akima.
- Ponderación de datos: k-más cercanos vecinos, media móvil, inverso de la distancia, Shepard, interpolación bilineal.
- Funciones de interpolación: Polinomios (superficies de tendencia), Splines.
- Se exponen las ventajas e inconvenientes de los interpoladores tradicionales.
- Se introduce el concepto del error de estimación como variable aleatoria en el Kriging, en contraste con el enfoque determinístico de los interpoladores tradicionales.
- Se revisan los interpoladores tradicionales, clasificándolos en métodos basados en:
- Interpolador de Kriging:
- Se define el Kriging como un interpolador que utiliza un modelo de función aleatoria y determina los pesos de los datos según:
- Distancia al punto de estimación.
- Redundancias entre datos.
- Continuidad espacial de la variable regionalizada (variograma).
- Se describe la influencia del variograma en los pesos del Kriging, privilegiando datos cercanos en variogramas regulares, repartiendo pesos en presencia de efecto pepita y considerando direcciones de mayor alcance en anisotropías.
- Se resalta la capacidad del Kriging para cuantificar la precisión de la estimación.
- Se define el Kriging como un interpolador que utiliza un modelo de función aleatoria y determina los pesos de los datos según:
- Construcción del Kriging:
- Se detallan las tres restricciones que definen el sistema de Kriging:
- Linealidad: El estimador es una combinación lineal ponderada de los datos.
- Insesgo: La esperanza del error de estimación es nula.
- Optimalidad: Minimiza la varianza del error de estimación (varianza de Kriging).
- Se detallan las tres restricciones que definen el sistema de Kriging:
- Plan de Kriging:
- Se explica el concepto de vecindad en el Kriging, distinguiendo entre vecindad única (todos los datos) y vecindad móvil (subconjunto de datos).
- Se argumenta la preferencia por la vecindad móvil para optimizar el tiempo de cálculo sin comprometer la precisión.
- Se analizan los factores que influyen en la elección del tamaño y la forma de la vecindad móvil:
- Tamaño: Alcance del variograma, malla de muestreo, cambios en la continuidad espacial, confiabilidad del modelo de variograma, precisión, insesgo condicional.
- Forma: Curvas de iso-correlación, anisotropía, elipses (2D), elipsoides (3D).
- Se recomienda dividir la vecindad en sectores angulares para una mejor distribución de datos.
- Se introduce la validación cruzada (jack-knife) como herramienta para determinar el plan de Kriging óptimo.
- Tipos de Kriging:
- Kriging Simple:
- Hipótesis: Se conoce la media y el variograma.
- Construcción del sistema de ecuaciones: Se incluyen las restricciones de linealidad, insesgo y optimalidad.
- Ejemplo: Variograma esférico en 1D.
- Kriging Ordinario:
- Hipótesis: Se desconoce la media, se conoce el variograma.
- Construcción del sistema de ecuaciones: Se adapta la restricción de insesgo para la media desconocida.
- Ejemplo: Efecto pepita puro, variograma esférico en 1D.
- Otros tipos de Kriging:
- Kriging con deriva: Universal, intrínseco, trigonométrico, con deriva externa.
- Kriging de bloques: Estimación de valores promedios sobre un soporte mayor.
- Co-kriging: Versión multivariable del Kriging.
- Kriging transitivo: Aleatoriedad en la posición de los datos.
- Kriging aleatorio: Incertidumbre en la posición de los datos y la variable regionalizada.
- Kriging lognormal: Distribución normal del logaritmo de los datos.
- Kriging no lineal: Kriging de indicadores, disyuntivo, multi-Gaussiano.
- Kriging Simple:
- Propiedades del Kriging:
- Interpolación exacta: El Kriging reproduce los valores en los puntos con datos.
- Insesgo: La media de los errores tiende a cero en grandes regiones.
- Aditividad: El Kriging del promedio es igual al promedio de las estimaciones puntuales.
- Suavizamiento: La varianza de los valores estimados es menor que la varianza de los valores reales.
- Sesgo condicional: La media de los errores puede no ser cero en zonas con valores extremos.
- Aplicación a los datos mineros:
- Se ilustra la elección del plan de Kriging comparando tres planes mediante jack-knife.
- Se muestra la aplicación del Kriging Simple y Ordinario a datos de leyes de cobre.
- Se presenta el Kriging de bloques para diferentes tamaños de bloque.
- Se describe la categorización de recursos según la varianza de estimación.
- Se analiza la estimación a partir de pozos de tronadura y se comparan los resultados económicos.
- Influencia de los parámetros en los resultados del Kriging:
- Se examina la influencia del comportamiento del variograma en el origen, la meseta, el alcance, el efecto de hoyo, la anisotropía y el tipo de Kriging en los resultados de la estimación.
- Malas prácticas en Kriging:
- Se advierten sobre las malas prácticas de rebloquear un modelo de bloques y realizar varias pasadas de Kriging.
- Lecturas recomendadas:
- Se proporciona una bibliografía de referencia sobre geoestadística.
- Ejercicios:
- Se proponen ejercicios para la selección del plan de Kriging, la estimación de leyes en bloques y la comparación de resultados económicos.
- Archivos de parámetros de GSLib:
- Se incluyen ejemplos de archivos de parámetros para programas de GSLib como KT3D, locxyz, HISTPLT, SCATPLT, CONDBIAS.
Autor:
Xavier Emery
Fecha de Publicación:
Universidad de Chile
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