Evaluación de yacimientos
Este completo documento introduce al fascinante mundo de la evaluación de yacimientos, un campo esencial que combina la teoría de probabilidades y la estadística con el contexto geológico. Desde una perspectiva histórica que traza su evolución desde Pascal y Fermat hasta la formalización de la geoestadística por Krige y Matheron, el curso sienta las bases para entender y cuantificar la incertidumbre inherente a la descripción numérica de los depósitos.
Reporte de recursos y reservas
Explora las aplicaciones cruciales en la industria minera, el petróleo, la remediación ambiental, y más, destacando su rol en la toma de decisiones frente a la incertidumbre y en el reporte de recursos y reservas bajo códigos internacionales como JORC y NI43-101. Se enfatiza la importancia de la geoestadística para cuantificar aspectos geológicos, realizar estimaciones y simulaciones, evaluar la incertidumbre, y optimizar el diseño de muestreo, proporcionando herramientas vitales para el modelamiento geológico numérico y la planificación minera en todas las etapas del ciclo de vida de un depósito.
Contenido Detallado:
Introducción
- Perspectiva histórica:
- Teoría de probabilidades: Formalización en el siglo XV, contribuciones de Gauss y Bayes (siglo XVIII), base de técnicas geoestadísticas.
- Geoestadística: Iniciada en los años 50 (Krige y Sichel en Sudáfrica), formalizada por Matheron en los 60 (Francia), centros de investigación en EEUU y Canadá en los 70 (Journel y David).
- Simulación condicional: 1974.
- Generalidades:
- Aplicaciones de técnicas geoestadísticas: Minería, meteorología, petróleo, pesca, silvicultura, remediación ambiental, etc.
- Requerimientos del Negocio Minero: Tomar decisiones frente a la incertidumbre, la descripción numérica del depósito como fuente de incertidumbre, reporte de recursos y reservas requiere evaluación de incertidumbre (JORC, NI43-101, SAMREC, Código Chileno).
- Requerimientos de la Legislación Ambiental: Cuantificación de concentraciones de contaminantes incluyendo incertidumbre.
- Estadística: Métodos científicos para recolectar, organizar, resumir, presentar, analizar datos, obtener conclusiones y tomar decisiones.
- Geoestadística: Rama de la estadística aplicada con énfasis en el contexto geológico y la relación espacial entre los datos.
- Utilidad de la geoestadística: Cuantificar aspectos geológicos, estimación/simulación, cuantificación de incertidumbre (categorización), diseño de muestra.
- Principios básicos: Trabajo dentro de restricciones geológicas, herramientas para cuantificar y aprovechar la correlación espacial, consideración de cercanía y redundancia de la información.
- Algoritmos para modelamiento geológico numérico y cuantificación de la incertidumbre.
- Consideraciones: Comprensión geológica/zonación guía el modelamiento, calidad/muestreo de datos importante.
- Códigos para reportar recursos y reservas considerando evaluación probabilística de la incertidumbre.
- Aplicaciones en minería: Crear modelos de bloques de leyes 3D para planificación minera, estimar reservas globales y locales, cuantificar incertidumbre en el contenido metálico, evaluar selectividad, cuantificar incertidumbre en producción.
- Herramientas combinables para diferentes objetivos y configuraciones geológicas.
- Aplicación en diferentes etapas del ciclo de vida:
- Sondajes de exploración: Modelo de pre-factibilidad para inventario in-situ, decisiones sobre ubicación y malla de perforación.
- Perforación de desarrollo: Modelo de factibilidad para reservas recuperables y planificación a largo plazo, requerimientos de mezcla.
- Pozos de tronadura: Modelo de producción para control de leyes y planificación a corto plazo, evaluación de pérdidas por mala asignación.
- Ambiental: Caracterizar interacciones temporales y espaciales entre la operación y el medioambiente.
- Herramientas apropiadas varían según la etapa.
- Herramientas de modelamiento numérico:
- Estimación: Inverso del cuadrado de la distancia, Kriging Simple/Ordinario, Kriging de indicadores, Cokriging.
- Simulación de variables continuas: Simulación secuencial Gaussiana, Simulación por Bandas Rotantes, Simulación de Indicadores.
- Simulación de variables categóricas: Simulación secuencial de Indicadores, Simulación PluriGaussiana, Simulación de objetos.
- Conceptos básicos:
- Modelamiento Numérico: Existencia de una única distribución verdadera desconocida, modelamiento permite manejar la ignorancia.
- Incertidumbre: Ningún modelo reproduce la realidad sin error debido a muestreo no exhaustivo, no inherente al depósito.
- Fenómeno Regionalizado: Se desarrolla en el espacio (ejemplos: mineralización, transporte de contaminantes).
- Variable Regionalizada (atributo): Valor de una característica del fenómeno (ejemplos: profundidad de estrato, ley, densidad, concentración). Denotación z(u).
- Caracterización de una variable regionalizada: Naturaleza (continua/categórica), dominio de extensión (campo), soporte (volumen de medición). El soporte afecta la distribución de valores (efecto de soporte y selectividad).
- Compósitos: Muestras deben tener el mismo soporte para el estudio estadístico, se llevan a compósitos de la misma longitud (relacionada con la altura del bloque de selección minera). Compósitos más largos implican valores menos dispersos.
- Muestra: Subconjunto representativo de la población para el análisis (distinto de «muestreo de ley»).
- Población: Colección finita o infinita de datos de interés.
- Ley de Corte o Umbral Máximo Aceptable: Valor para clasificar material (mineral/lastre, contaminantes). Denotación zC.
- Continuidad: Distribución de una variable regionalizada en el espacio (geológica y de leyes), no siempre simultáneas.
- Recurso geológico: Concentración de material de interés económico con probabilidades razonables de extracción económica. Sinónimos: recursos minerales o in situ.
- Reserva minera: Parte económicamente explotable de un recurso mineral, incluye dilución y pérdidas consideradas. Considera factores de extracción, metalúrgicos, económicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y gubernamentales.
- Categorización de recursos y reservas: Aumenta la confianza con la exploración. Recursos (inferidos, indicados, medidos) y reservas (probables, probadas) en orden creciente de confianza.
- Códigos internacionales para categorización: JORC, SAMREC, CIM, IMM, SME.
- Unidad selectiva de explotación: Volumen mínimo seleccionable, depende del equipo, base para factibilidad, contiene estimaciones de leyes y otros parámetros.
- Dilución: Mezcla de mineral y estéril (interna: geométrica, inherente; externa: operación).
- Construcción de un modelo numérico:
- Extensión areal y vertical, tamaño de celda.
- Modelo geológico conceptual y zonas.
- Para cada zona:
- Definir transformación de coordenadas.
- Número de tipos de roca, datos y correlación espacial.
- Generar modelo 3-D de tipo de roca (estocástico/determinístico).
- Valores de ley y correlación espacial.
- Generar modelo de leyes 3-D (estocástico/determinístico).
- Combinar y transformar a coordenadas reales.
- Verificar el modelo.
- Combinar zonas en un solo modelo.
Estudio Exploratorio de Datos: Univariable y Multivariable
- Objetivos del Estudio Exploratorio De Datos:
- Desplegar los datos en diferentes formas.
- Entender los datos (poblaciones estadísticas vs. geológicas).
- Seleccionar poblaciones geológicas.
- Decisión de estacionaridad.
- Identificar deriva.
- Asegurar calidad de datos.
- Resumir información.
- Familiarizarse con datos y geología.
- Desagrupar datos para modelamiento geoestadístico.
- Despliegue de Datos:
- Análisis utilizando plantas y secciones.
- Visualización en 3-D.
- Mapas codificados con color.
- Mapas de indicadores (detección de deriva).
- Histogramas:
- Despliegue de frecuencia de ocurrencia en clases.
- Histograma acumulado: frecuencia acumulada bajo un valor de corte.
- Computa número de muestras por clase, ancho constante, altura proporcional a frecuencia, estadísticas de las muestras.
- Escala logarítmica útil, media y varianza sensibles a extremos, mediana y rango intercuartil más robustos.
- Construcción: número de clases según muestras, desplegar rango importante, estadísticas con decimales razonables.
- Histograma Acumulado:
- Distinguir poblaciones estadísticas.
- Comparar distribución con modelos paramétricos (normal/lognormal).
- Transformar distribución de muestras.
- Ver efecto de compositar.
- No requiere ancho de clase, resolución de los datos.
- Herramienta descriptiva para inferencia.
- Cuantil: valor correspondiente a una frecuencia acumulada dada (primer cuartil 0.25, mediana 0.5, tercer cuartil 0.75). Lectura de cuantiles e intervalos de probabilidad.
- Estadísticas Básicas:
- Medidas de posición: Media, Mediana, Moda, Mínimo, Máximo, Rango, Cuartiles, Deciles, Percentiles, Cuantiles.
- Medidas de dispersión: Varianza, Desviación estándar, Rango intercuartil, Coeficiente de variación (CV). CV ejemplos para yacimientos.
- Medidas de forma: Coeficiente de asimetría (skewness) y aplanamiento (kurtosis).
- Distribución Normal:
- Propiedades: Definida por media y varianza, descripción matemática concisa, favorable para enfoques teóricos.
- Función de densidad de probabilidad.
- Estandarización: Distribución normal estándar N(0,1).
- Función de distribución acumulada.
- Intervalos de confianza (68%, 95%, 90%).
- Distribución Lognormal:
- Logaritmos de los datos distribuidos como una normal.
- Propiedades: Común en Ciencias de la Tierra, relación con normal facilita su uso, favorable para enfoques teóricos.
- Función de densidad de probabilidad.
- Gráficos de Probabilidad:
- Q-q plot para comparar distribución muestral con normal o lognormal.
- Útiles para chequear presencia de dos poblaciones (confirmar con geología).
- Gráfico de Dispersión:
- Análisis bivariable, pares co-localizados.
- Coeficiente de correlación (dependencia lineal, sensible a aberrantes, correlación cero no implica independencia).
- Coeficiente de correlación cambia con valores aberrantes. Ejemplos de coeficientes.
- Despliegue bivariable, estimado-verdadero, dos variables, h-scatterplot.
- Coeficiente de correlación lineal (-1 a +1, sensible a extremos).
- Coeficiente de correlación de posición (rank) como complemento útil para evaluar la influencia de outliers.
- Q-q Plot:
- Comparación cuantil a cuantil de dos distribuciones (F1 y F2).
- No compara relación par a par entre variables.
- Proceso de graficación de cuantiles.
- Interpretación de la línea de puntos (iguales distribuciones, diferentes medias, diferentes varianzas, diferentes formas).
- Ejemplo con histogramas de ley DDH y ley por RC, muestreo preferencial explica diferencias, no son muestras pareadas para detectar sesgo.
- Lectura y trazado de cuantiles de gráficos de frecuencia acumulada.
El Modelo Probabilístico en Geoestadística
- Interpretación probabilística: Fenómenos complejos parecen aleatorios por desconocimiento de la realidad.
- Variables aleatorias: Interpretación de z(u) como realización de Z(u), problemas de inferencia con una sola realización.
- Variable aleatoria: Función Z desde espacio muestreal a reales, representa valor no muestreado (desconocido), modela incertidumbre (continua o discreta/categórica).
- Función de distribución acumulada (fda): P(Z ≤ z), definida para todos los z, no-decreciente, probabilidad acumulada bajo la fdp. Propiedades límites. Probabilidad de superar un corte y probabilidad en un intervalo. Teorema importante para simulación Monte-Carlo (transformación a uniforme).
- Función de densidad de probabilidad (fdp): Derivada de la fda (si derivable), fda como integral de fdp. Propiedades de la fdp (no negativa, integral igual a 1).
- Gráfico de probabilidad acumulativo: Ver todos los datos, reconocer/separar poblaciones, detectar extremos, verificar modelos de distribución (recta en escala aritmética para normal, logarítmica para lognormal).
- Valores extremos: Afectan estadísticas básicas, manejo (eliminar si erróneos, poblaciones separadas, estadísticas robustas, transformación, bajar a máximo razonable). Outliers: observaciones fuera de la población, problemas en regresión, eliminar solo si erróneos.
- Suavizamiento de distribuciones experimentales: Reduce fluctuaciones con pocos datos, aumenta resolución, extiende distribución. Técnicas flexibles (programación cuadrática) mantienen estadísticas.
- Momentos:
- Esperanza (primer momento): Promedio ponderado por probabilidades (caso discreto y continuo), idea del centro. Propiedades de la esperanza.
- Varianza (segundo momento centrado): Dispersión de la distribución (caso discreto y continuo). Propiedades de la varianza.
- Desviación estándar: Raíz cuadrada de la varianza, misma unidad que la variable.
- Coeficiente de variación (CV): Adimensional, razón desviación estándar/media.
- Distribución Uniforme: fdp, fda, momentos (media, varianza).
- Distribución Dirac: z = a (constante), fda, fdp, momentos (media, varianza).
- Distribución Normal (Gaussiana): Caracterizada por media y varianza, fdp normal estándar. fda no tiene expresión simplificada, uso de tabla estándar. Relación entre distribución general y estándar. Simetría, media=mediana, g(m+z) = g(m-z). Intervalos de confianza.
- Distribución Lognormal: Logaritmo distribuido como normal. Interés en Ciencias de la Tierra, sesgada a la derecha. Caracterizada por parámetros aritméticos o logarítmicos. fda y fdp en función de parámetros logarítmicos. Relaciones entre parámetros aritméticos y logarítmicos.
- Combinación de distribuciones: Nueva distribución resultante de la combinación. Modelo de distribución si F’k(z) son fdas y λk positivos suman 1. Codificación disyuntiva de histograma experimental como suma de distribuciones Dirac.
- Teorema del Límite Central: Suma o media de variables aleatorias estandarizadas independientes igualmente distribuidas tiende a normal. Corolario: producto tiende a lognormal.
- Distribución bivariable: Función de densidad de probabilidad conjunta. Funciones de distribución acumulada y densidad conjunta. Distribuciones marginales (univariables). Distribuciones condicionales (Ley de Bayes). Ejemplo de distribuciones en filas y columnas, línea de regresión, distribución marginal. Covarianza (momento de segundo orden). Coeficiente de correlación (covarianza estandarizada).
- Distribución multivariable: Función de distribución acumulada, caracteriza distribución conjunta de variables aleatorias.
- Noción de función aleatoria: Conjunto de variables aleatorias en un dominio. Variable regionalizada es una realización. Importancia de la correlación entre variables para modelar continuidad espacial (análisis variográfico). Ejemplo de distribuciones espaciales con diferentes correlaciones.
Estacionaridad, desagrupamiento y derivas
- Estacionaridad: Variable regionalizada como realización de función aleatoria. Imposibilidad de inferir Z(u) con solo z(u). Sentido de la distribución de probabilidad asumiendo misma variable aleatoria para todas las ubicaciones. Da sentido al formalismo, permite inferencia, es una decisión del modelo.
- Estacionaridad estricta: Distribución espacial invariante por traslación.
- Estacionaridad de segundo orden: Esperanza constante, covarianza depende solo del vector de separación h.
- Función variograma: γ(u, h) = 1/2 Var[Z(u+h) – Z(u)], depende solo de h bajo estacionaridad de segundo orden. Relación entre covarianza y variograma: γ(h) = C(0) – C(h), donde C(0) es la varianza. Variograma y covarianza equivalentes bajo estacionaridad de segundo orden.
- Casi-Estacionaridad de segundo orden: Relación se cumple a pequeña escala (radio de búsqueda de kriging).
- Intrínseca: Crecimientos estacionarios de orden dos.
- Casi-Intrínseca: Relación se cumple a pequeña escala.
- Considerar subdivisión en sub-zonas homogéneas.
- Representatividad de la muestra: Debe representar el área/población, cuestionarse si datos no uniformemente dispersos (sesgo espacial). Muestreo preferencial (ubicación no regular ni aleatoria) debido a accesibilidad, valores esperados, estrategia, restricciones técnicas/económicas, delineación de zonas de interés económico. Corrección por retención de datos regularmente espaciados o cambio de frecuencias (pesos).
- Desagrupamiento: Técnicas para obtener estadísticas representativas, ponderar muestras según representatividad (menos peso en áreas densas). Métodos geométricos (celdas, polígonos) y geoestadísticos (pesos de kriging ordinario). Ilustración de histogramas estándar y desagrupados.
- Método de las celdas: Cubrir zona con celdas idénticas, cada celda con dato tiene mismo peso repartido entre muestras de la celda. Influencia del origen y tamaño de las celdas, cambio en la media depende de la deriva, se recomienda tamaño de la malla de sondajes.
- Método de los polígonos: Ponderar por volumen de influencia, requiere límites del dominio, difícil en 3D, aproximación numérica fácil, buenos resultados con límites conocidos.
- Aplicado solo para corregir distribución, pondera frecuencias, valores no cambian, ponderadores por celda, poligonal u otras técnicas.
- Muestreo incompleto del rango de la variable (azar, accesibilidad).
- Modelamiento de histograma (distribución muestral vs. poblacional), suavizamiento.
- Derivas: Tendencia presente en el fenómeno, anomalías, modelos no estacionarios con media variable m(u), escala de la deriva importante. Modelamiento subjetivo, resultado depende del modelado. Extremos: deriva captura toda variabilidad (residuo ruido puro) o variabilidad repartida entre deriva y residuos. Correlograma, covarianza y variograma experimental para analizar.
Variograma experimental
- Objetivo: Describir propiedades de la distribución espacial más allá de valores puntuales (continuidad espacial).
- Nubes de correlación diferida: Dispersión aumenta con distancia de separación, examen indica semejanza de datos según distancia (correlación espacial).
- Correlograma experimental: Coeficiente de correlación de las nubes en función de la distancia (generalmente decreciente, tiende a cero a grandes distancias). Definición matemática. Ilustración.
- Covarianza experimental: Visualización de la covarianza en función de la distancia.
- Variograma experimental: Momento de inercia de las nubes (distancia promedio a la diagonal) en función de la distancia (generalmente creciente, nulo en distancia cero). Relación con otras herramientas variográficas. Se prefiere el variograma por no depender de las medias locales. Definición matemática. Ilustración.
- Características importantes del variograma: Crecimiento (velocidad de desestructuración), alcance (zona de influencia), comportamiento cerca del origen (continuidad a pequeña escala), anisotropía (variación según dirección). Ilustración de regularidad espacial y anisotropía.
- Cálculo de variogramas experimentales: Datos 2D/3D, regular/irregular. Especificación de dirección (regular: acimut, tolerancia; irregular: acimut, tolerancia, ancho de banda). Proceso de cálculo comparando nodos dentro de tolerancias para diferentes separaciones.
- Opciones de cálculo del variograma: Parámetros a definir: acimut, tolerancia angular en acimut, ancho de banda horizontal, distancias (paso/lag), tolerancia en el paso, número de pasos, inclinación, tolerancia angular en inclinación, ancho de banda en inclinación, número de pares mínimo, desplazamiento inicial, ponderadores de desagrupamiento (poco usado).
- Direcciones y número de direcciones: Vertical y horizontal (con distinto paso), a menudo tres horizontales (omnidireccional, mayor continuidad, perpendicular).
- Número de pasos y distancia de separación: Distancia coincide con espaciamiento, confiable hasta la mitad del tamaño del campo.
- Tipo de variogramas: Tradicional adecuado en 95% de los casos, alternativas: covarianza, correlograma.
- Transformación de datos: Leyes de metales preciosos suelen ser sesgadas, extremos impactan el variograma. Transformación logarítmica común (y = log10(z)), análisis con datos transformados y transformación de vuelta (delicada). Técnicas requieren transformación a normal (Gaussiana). Modelo Gaussiano único por simplicidad analítica y teorema del límite central. Transformación a cualquier distribución por cuantiles.
- Ejemplo de cálculo: Fórmulas para media de cabeza y cola, varianza de cabeza y cola, covarianza, correlograma y variograma. Tabla de ejemplo y gráficos resultantes.
- Retos en el cálculo del variograma: Distancias pequeñas importantes (continuidad a pequeña escala, crucial para estimación con datos cercanos), dirección vertical bien informada (artefactos por espaciamiento), manejo de tendencias verticales y areales, dirección horizontal más difícil de estimar (usar paso cercano al espaciamiento).
- Interpretación de variogramas experimentales:
- Meseta = varianza (1.0 si datos transformados a normales).
- Alcance = distancia a la meseta.
- Efecto pepita = variabilidad a micro-escala y error de medición.
- Ausencia de meseta: Escala de trabajo < alcance, tendencias (considerar deriva), varianza infinita.
- Fluctuaciones: Aumentan con distancia, variograma no confiable para distancias grandes (> mitad del diámetro del dominio).
- Ciclicidad: Periodicidad geológica, información limitada, mala elección de parámetros. Importancia del efecto pepita y alcance razonable.
- Anisotropía geométrica: Alcances diferentes en direcciones (elipses/elipsoides), por flujo preferencial, depositación en direcciones preferenciales. Común en vertical y horizontal.
- Anisotropía zonal: Meseta cambia según dirección (bandas), caso límite de geométrica con alcance muy grande en una dirección. Variograma vertical con meseta más alta (varianza adicional por estratificación) o más baja (diferencia en valor promedio).
- Mapas variográficos: Visualización del variograma experimental en todas direcciones (mapa de color) para identificar anisotropías y calcular variograma en direcciones principales.
Variograma modelado
- Motivación: Variograma experimental imperfecto e incompleto. Se ajusta un modelo teórico definido en todas direcciones y distancias, usado como el «verdadero» variograma de la función aleatoria. El variograma experimental estima el teórico sin sesgo.
- Propiedades del variograma: Función positiva, par, nulidad en el origen, crecimiento más lento que parábola en el infinito, función de tipo negativo condicional.
- Rasgos importantes a modelar: Comportamiento en el origen (suave/continuo/discontinuo), al infinito (alcance/meseta), direccional (isótropo/anisótropo), otros (ciclicidad, efecto de hoyo).
- Modelado a partir de funciones básicas:
- Efecto pepita (discontinuo en el origen, ausencia de correlación). Causas: micro-estructuras, errores de medición/ubicación, soporte pequeño, muestreo preferencial.
- Modelo esférico (lineal en el origen, alcance a, meseta C). Terminología por intersección de esferas.
- Modelo exponencial (lineal en el origen, asciende abruptamente, meseta asintótica C, alcance práctico donde γ(h) = 0.95 C).
- Modelo Gaussiano (parabólico en el origen, continuidad a corta escala, adecuado para elevaciones/espesor, alcance práctico donde γ(h) = 0.95 C).
- Modelo potencia (fractales, 0<q<2, pendiente C, sin meseta).
- Modelo seno cardinal (cíclico, alcance práctico 20.4 a, semi-período 4.5 a, meseta C).
- Modelos anidados: Suma de variogramas elementales para modelos complejos, modelar cambios de pendiente. Micro-estructura se traduce en efecto pepita.
- Modelos en 2-D y 3-D: Más difíciles, modelo legítimo en todas direcciones. Cálculo en direcciones ortogonales principales (vertical, horizontal mayor/menor). Modelo isótropo poco frecuente. Anisotropía geométrica y zonal comunes.
- Anisotropía geométrica: Mapa variográfico dibuja elipses/elipsoides, modelado requiere direcciones principales ortogonales y alcances correspondientes. Consejos: seleccionar pepita de dirección mejor informada, pepita baja constante, número y tipo de modelos, prueba-y-error, software flexible.
- Anisotropía zonal: Mapa dibuja bandas, caso límite de geométrica con alcance muy grande en una dirección, meseta cambia según dirección.
- Anisotropías complejas: Mezcla de geométricas y/o zonales con diferente orientación y razón.
- Reglas de ajuste: Modelo consistente en direcciones (mismo efecto pepita, número/tipo de estructuras anidadas, parámetro de meseta). Permitir alcance diferente por dirección. Modelar zonal con alcance muy grande en direcciones principales. Ejemplo de propuesta de modelo siguiendo reglas (determinar pepita, alcances/mesetas, cantidad/tipos de modelos).
- Consideraciones prácticas: Buscar anisotropías simples (2-3 direcciones ortogonales), variograma experimental poco confiable a distancias muy grandes, no existe modelo único, meseta puede diferir de varianza del histograma, atención a representatividad, información disponible, escala de trabajo, desconfiar de ajustes automáticos.
Autor y Fecha de Publicación:
Univerdad de Chile
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